评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分证明 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。

1. 学生首先写出 \(\ln(1+\frac{1}{n}) = \ln(1+n) - \ln n\)，这一步正确但后续变形 \(\ln\frac{1}{n} - \ln\frac{1}{n+1}\) 有误（应为 \(\ln\frac{n+1}{n}\)），不过不影响后续证明思路。

2. 学生通过构造函数 \(f(x)=x-\ln(1+x)\) 来证明右边不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。求导 \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\) 有误（正确应为 \(f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\)，但学生写成了 \(\frac{x}{x+1}\)，这可能是识别或笔误，且不影响符号判断，因为当 \(x>0\) 时 \(\frac{x}{x+1}>0\)，但严格来说 \(f'(x)=\frac{x}{1+x}\) 与 \(\frac{x}{x+1}\) 相同，这里不扣分）。学生说明当 \(x\in[0,+\infty)\) 时 \(f'(x)\ge 0\)，且 \(f(0)=0\)，所以 \(x>0\) 时 \(f(x)>0\)，即 \(x > \ln(1+x)\)，代入 \(x=\frac{1}{n}\) 得到右边不等式。此部分逻辑正确。

3. 证明左边不等式时，学生构造函数 \(g(x)=x+\ln(1-x)\)，并求导 \(g'(x)=\frac{x}{x-1}\)，这里求导错误（正确应为 \(g'(x)=1-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}\)，实际上 \(g'(x)=\frac{x}{x-1}\) 是正确的，因为 \(1-\frac{1}{1-x}=\frac{1-x-1}{1-x}=\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}\)，学生写对了）。然后学生分析当 \(x\in[0,1)\) 时 \(g'(x)<0\)，且 \(g(0)=0\)，所以 \(g(x)\le 0\)，即 \(x+\ln(1-x)\le 0\)，即 \(\ln(1-x)\le -x\)。但学生最后代入的是 \(x=\frac{1}{n+1}\)，得到 \(\frac{1}{n+1}+\ln(1-\frac{1}{n+1})<0\)，即 \(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})\)（因为 \(\ln(1-\frac{1}{n+1})=\ln\frac{n}{n+1}=-\ln(1+\frac{1}{n})\)？这里需要检查：\(\ln\frac{n}{n+1}=\ln(1-\frac{1}{n+1})\)，而 \(\ln(1+\frac{1}{n})=\ln\frac{n+1}{n}\)，两者互为相反数吗？实际上 \(\ln\frac{n}{n+1}=-\ln\frac{n+1}{n}=-\ln(1+\frac{1}{n})\)，所以 \(\frac{1}{n+1}+\ln\frac{n}{n+1}<0\) 等价于 \(\frac{1}{n+1}-\ln(1+\frac{1}{n})<0\)，即 \(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})\)。学生推理正确。

4. 整体证明思路正确，但过程中有一些表述不严谨（如 \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\) 的写法，以及 \(g(x)\) 的区间分析），但核心步骤和结论正确。根据标准答案，证明该不等式的方法不唯一，学生方法正确，应给满分。

得分：5分（满分5分）。

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第二部分证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛。

1. 学生计算 \(a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})\)，并利用（Ⅰ）中结论得到 \(a_...