评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确利用全微分与偏导数的关系得到 \(\frac{\partial f}{\partial x}=axy^2\)，\(\frac{\partial f}{\partial y}=10x^2y+\frac{2}{5}ay^3\)，并通过混合偏导连续得到 \(2axy=20xy\)，从而 \(a=10\)。随后通过积分求出 \(f(x,y)=5x^2y^2+y^4+C\)，并利用 \(f(1,1)=6\) 确定 \(C=0\)。思路与标准答案完全一致，计算正确。因此得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确将问题转化为在约束 \(5x^2y^2+y^4=1\) 下求 \(x^2+y^2\) 的最小值，并正确使用拉格朗日乘数法建立方程组。在求解过程中，学生从 \(\frac{\partial F}{\partial x}=0\) 得到 \(1-5\lambda y^2=0\)，从 \(\frac{\partial F}{\partial y}=0\) 得到 \(1-5\lambda x^2-2\lambda y^2=0\)，并正确解出 \(x^2=\frac{3}{10}\)，\(y^2=\frac{1}{2}\)，最终得到最小距离 \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)（即 \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)）。虽然中间步骤的书写（如 \(\lambda x^2=\frac{3}{25}\)，\(\lambda y^2=\frac{1}{5}\)）与标准答案表述略有不同，但整体逻辑正确，结果无误。因此得6分。

题目总分：6+6=12分