评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：3分

理由：

1. 学生正确计算了矩阵B的特征多项式，并得出特征值表达式 \(\lambda_1=1, \lambda_2=a+\frac{1}{2}, \lambda_3=a-\frac{1}{2}\)。（+1分）
2. 学生正确利用“B有二重特征值”和“B正定”两个条件，得出 \(a=\frac{3}{2}\)，并得到特征值 \(\lambda_1=2, \lambda_{2,3}=1\)。（+1分）
3. 学生正确求出了特征值2对应的特征向量为 \((1,0,1)^T\)。（+1分）
4. 逻辑错误扣分：在求二重特征值1对应的特征向量时，学生给出的计算和结果存在严重错误。从 \(|E-B|\) 的行列式计算到特征向量的求解均不正确。标准答案中，二重特征值1对应两个线性无关的特征向量 \((1,0,1)^T\) 和 \((0,1,0)^T\)，但学生给出的 \(\xi_2\) 和 \(\xi_3\) 是错误的，并且后续构造正交矩阵Q的过程也基于错误的特征向量，导致最终的正交矩阵Q和对角矩阵 \(\Lambda\) 均不正确。（-3分）
5. 学生作答中出现了“\(AB = 3B^{2}=B\)”这样的错误等式，属于明显的逻辑错误，但考虑到这可能是在识别或书写过程中产生的笔误，且后续并未使用此错误结论，根据“误写不扣分”原则，此处不额外扣分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：0分

理由：

1. 学生的解题思路与标准答案完全不同。标准答案的核心是利用 \(AB = 3A - B\) 得到 \(X^TABX = X^T(3A-B)X\)，然后通过（Ⅰ）中得到的正交变换进行化简。而学生试图先求出A和AB的显式矩阵，再对AB进行合同变换化为规范形。
2. 逻辑错误扣分：学生的求解过程存在根本性错误。
   • 由 \(AB = 3A - B\) 推导出 \(A(B-3E) = -B\) 是正确的，得到 \(A = -B(B-3E)^{-1}\) 也是正确的。
   • 但是，在计算 \(AB\) 时，学生写出的 \(AB=-B^{2}(B - 3E)^{-1}\) 并计算出了一个具体的数值矩阵 \(\begin{pmatrix}-\frac{9}{4}&0&\frac{7}{4}\\0&\frac{1}{2}&0\\\f...