评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：6分

理由：学生作答正确证明了 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上的连续性。
1. 正确计算了 \(x \to a^+\) 时 \(F(x)\) 的极限，并利用积分中值定理或洛必达法则（隐含）得到 \(\lim_{x \to a^+} F(x) = f(a)\)。
2. 指出由于 \(f(x)\) 连续，该极限等于 \(f(a) = F(a)\)，从而说明 \(F(x)\) 在 \(x=a\) 处右连续。
3. 指出在 \((a, b]\) 上 \(F(x)\) 是连续的（因为它是连续函数的积分除以连续函数 \(x-a\)）。
4. 综合以上两点，得出 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续的结论。
学生的思路与标准答案一致，逻辑清晰，表述虽有微小差异（如提到“在 \(x \in [a, a+\delta)\) 内连续”），但核心论证正确，不扣分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：学生作答的思路方向正确，但在关键步骤的论证上存在逻辑不严谨之处。
1. 正确部分：学生正确计算了 \(F'(x)\) 的表达式 \(\frac{f(x)(x-a)-\int_a^x f(t)dt}{(x-a)^2}\)，并试图利用积分中值定理将其化为 \(\frac{f(x)-f(\xi)}{x-a}\)。认识到 \(f(x)\) 单调增加意味着 \(f(x) > f(\xi)\)，且 \(x-a>0\)，从而得出 \(F'(x) > 0\) 的结论。这个思路在本质上能导向正确结论。
2. 扣分点：逻辑错误（扣2分）。学生直接写出 \(F'(x) = \frac{f(x)-f(\xi)}{x-a}\) 这一步是不严谨的。积分中值定理给出的是 \(\int_a^x f(t)dt = f(\xi)(x-a)\)，将其代入 \(F'(x)\) 的分子后得到的是 \(f(x)(x-a) - f(\xi)(x-a) = [f(x)-f(\xi)](x-a)\)，因此 \(F'(x) = \frac{[f(x)-f(\xi)](x-a)}{(x-a)^2} = \frac{f(x)-f(\xi)}{x-a}\)。虽然结果形式相同，但学生作答中省略了关键的推导步骤，直接从商式求导公式跳到了带 \(\xi\)...