评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生给出了必要性和充分性的证明，但两部分都存在逻辑问题。

• 必要性部分：学生试图用中值定理和极限思想推导，但步骤跳跃且不严谨。例如，从 \(\frac{f'(\xi_1)-f'(\xi_2)}{h} \geq 0\) 到 \(\frac{f'(\xi_1)-f'(\xi_2)}{\xi_1-\xi_2} \cdot \frac{\xi_1-\xi_2}{h} \geq 0\) 的转化中，未说明 \(\xi_1-\xi_2\) 与 \(h\) 的关系（实际上 \(\xi_1-\xi_2\) 不一定等于 \(h\)），且直接得出 \(f''(\xi_3) \geq 0\) 后，未说明如何推出对任意 \(x\) 都有 \(f''(x) \geq 0\)。逻辑链条不完整，扣2分。
• 充分性部分：学生使用了反证法，但表述有误。反证法应假设存在某 \(x_0\) 使 \(f''(x_0) < 0\)，然后推出存在 \(h\) 使 \(f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h) < 0\)，从而与条件矛盾。但学生写的是“若 \(\exists x_0\)，使 \(f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h) < 0\)”，这实际上是假设结论不成立，然后说“则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 点处凸，\(f''(x) < 0\)”，逻辑顺序颠倒，且未说明如何从 \(f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h) < 0\) 推出 \(f''(x_0) < 0\)。这部分论证错误，扣3分。

因此，（Ⅰ）部分得分为 6 - 2 - 3 = 1分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确指出拐点两侧 \(f''(x)\) 符号相反，并得出在 \(x_0\) 处 \(f''(x_0)=0\)。但论证过于简略，未说明为什么符号相反就能推出 \(f''(x_0)=0\)（需要利用二阶可导性及极限或费马引理）。标准答案中使用了费马引理，而学生直接得出结论，缺少关键推理步骤，扣2分。

因此，（Ⅱ）部分得分为 6 - 2 = 4分。

题目总分：1+4=5分