评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分为10分。学生作答存在以下问题：

1. 核心思路错误：学生正确地识别了积分区域D的边界在极坐标下的表示（\( r_1, r_2, \theta_1, \theta_2 \)），并建立了极坐标下的二重积分表达式 \(\iint_{D}(1 + x - y)dxdy=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}d\theta\int_{r_{1}}^{r_{2}}(1 + r\cos\theta-r\sin\theta)\cdot rdr\)。这一步是正确的。
2. 积分计算错误：在计算内层对 \(r\) 的积分时，学生写出的原函数为 \(\frac{1}{2}r^{2}+\frac{r^{3}}{3}(\cos\theta-\sin\theta)\)。这里存在严重错误。被积函数展开为 \(r + r^2\cos\theta - r^2\sin\theta\)，其关于 \(r\) 的原函数应为 \(\frac{1}{2}r^2 + \frac{1}{3}r^3\cos\theta - \frac{1}{3}r^3\sin\theta\)。学生写出的 \(\frac{r^3}{3}(\cos\theta - \sin\theta)\) 虽然结果等价，但书写不规范，容易导致后续代入错误。然而，关键错误发生在代入上下限 \(r_1, r_2\) 并进行化简之后。学生得到的中间表达式 \(\frac{4}{3}\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}+\frac{1}{3}\frac{3\sqrt{3}-1}{(\sin\theta\cos\theta)^{\frac{3}{2}}}\) 是完全错误的，这并非由正确的积分和代数运算得出。这表明学生在积分运算或代数化简环节出现了根本性的逻辑错误。
3. 最终结果错误：基于错误的中间表达式，学生计算出的最终结果 \(\frac{1}{3}\ln\frac{1}{3}+3\ln3\) 也是错误的，与标准答案 \(\frac{8}{3}\ln3\) 不符。
4. 未使用对称性：标准答案巧妙地利用了积分区域关于 \(y=x\) 对称的性质，简化了计算。学生没有使用这一性质，而是选择了直接计算。思路不同但正确本不扣分，但学生的直接计...