评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了复合函数的二阶偏导数，并代入方程得到 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\)。在第一次识别中，符号 \(M, N, V\) 是误写（应为 \(u, v\)），不影响核心逻辑。第二次识别完全正确。因此给满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生从 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\) 出发，先对 \(v\) 积分得到 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + C(u)\)，利用条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 确定 \(C(u) = ue^{-u}\)，再对 \(u\) 积分得到 \(f(u,v) = \frac{1}{25}uv - e^{-u}(u+1) + h(v)\)，最后利用 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定 \(h(v) = \frac{1}{50}v^2\)。思路和计算均正确。第一次识别中积分结果写为 \((e^{M}(M - 1)e^{-M})\) 是明显的识别错误（应为 \(-ue^{-u} - e^{-u}\) 或 \(-(u+1)e^{-u}\)），但第二次识别已纠正，且最终表达式正确。因此给满分6分。

题目总分：6+6=12分