评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生尝试使用泰勒展开来证明，但过程不完整且存在多处错误和混乱。具体问题如下：

1. 题目条件为 \(|f''(x)| \leq 1\)，学生写作 \(|f''(x)| < 1\)，虽然不等号方向有误，但根据“禁止扣分”原则，可能为识别或笔误，且不影响核心逻辑判断，此处不扣分。
2. 学生写出了泰勒公式 \(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2\)，这是正确的思路起点。
3. 然而，后续推导逻辑混乱。学生试图分别对 \(f(0)\) 和 \(f(1)\) 在 \(x_0\) 处展开，但展开后代入目标表达式 \(f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x\) 的推导过程没有清晰呈现，且出现了如 \(f(1)=f(1)+f'(0)(1-x_0)+\frac{1}{2}f''(1)(1+x_0)\) 这样的错误等式，这属于严重的逻辑错误。
4. 最关键的是，证明过程没有完成，最终没有得出所要证明的不等式 \( |f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x| \leq \frac{x(1-x)}{2} \)。

由于证明的核心逻辑未建立，过程不完整且含有错误，无法给分。但考虑到学生正确识别了泰勒公式这一工具，并有一定解题方向，给予少量步骤分。

得分：1分

（2）得分及理由（满分6分）

学生的作答完全没有涉及第二部分关于积分不等式的证明。第二部分证明需要利用第一部分的结论进行积分，而学生的答案在第一部分就中断了。

因此，第二部分得分为0分。

得分：0分

题目总分：1+0=1分