评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果给出了 \( r\left(\begin{array}{l}A\\B^T\end{array}\right)=r(A) \) 并直接得出 \( b=2, a=1 \)，但缺少详细的初等行变换过程，且直接写 \( r(B^T)=1 \) 作为条件不够严谨（实际上 \( r(B^T) \) 不一定为1，需通过矩阵秩的关系推出）。不过，最终结果 \( a=1, b=2 \) 正确。第二次识别结果中矩阵写为 \(\begin{pmatrix}0&1&a\\1&0&b\\1&1&2\end{pmatrix}\)，第三行第一列误写为1（应为1），第二行第三列误写为 \( b \)（应为1），这可能是识别错误，但根据上下文仍得到 \( a=1, b=2 \)。由于核心结果正确，但推导过程不完整且有小瑕疵，扣1分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出 \( BA \) 矩阵（第一次识别中 \( BA \) 计算有误，但第二次识别中正确为 \(\begin{pmatrix}1&1&2\\1&1&2\\2&2&4\end{pmatrix}\)），并正确得出特征值 \( \lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=6 \)。在求特征向量时，第一次识别中 \( \xi_1 \) 写为 \(\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) 不正确（应为 \(\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\) 的倍数），第二次识别中未给出 \( \lambda=6 \) 的特征向量具体值，但最终给出的正交矩阵 \( Q \) 与标准答案一致（列向量顺序不同，但仍是正交矩阵，且对应标准形为 \( 6y_3^2 \)）。由于特征向量求解过程有误，但最终正交矩阵正确，扣1分。

得分：5分

题目总分：5+5=10分