评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路与标准答案一致，即：识别出被积函数在原点(0,0)处不连续（因为分母为零），因此不能直接对圆盘区域应用格林公式。通过引入一条围绕奇点的小椭圆曲线（或近似椭圆曲线）\(4x^2+y^2=\varepsilon^2\)，将原曲线积分转化为沿外围大圆L和内围小椭圆\(L_\varepsilon\)的闭合曲线积分之差，再利用格林公式计算或直接计算小椭圆上的积分。

具体评分分析如下：

1. 正确部分：
   • 正确写出了\(P, Q\)。
   • 计算了偏导数\(\frac{\partial P}{\partial y}\)和\(\frac{\partial Q}{\partial x}\)（尽管第一次和第二次识别的\(\frac{\partial P}{\partial y}\)表达式有符号差异，但第二次识别结果与标准答案一致，且最终判断它们相等，这个核心结论正确）。
   • 指出了在原点不连续，需要挖洞。
   • 引入了小椭圆曲线\(4x^2+y^2=\varepsilon^2\)。
   • 最终计算结果为\(\pi\)，与标准答案一致。
2. 主要逻辑错误与扣分：
   • 方向错误：学生两次识别都写明小椭圆取“逆时针方向”。根据格林公式和挖洞法的常规处理，为了与外围逆时针的大圆L构成一个“外逆内顺”的复连通区域正向边界，小椭圆\(L_\varepsilon\)应取顺时针方向。学生此处方向取反，是一个重要的逻辑错误。这会导致后续应用格林公式时区域正负号错误，或者直接计算小椭圆积分时结果符号错误。尽管最终数值结果碰巧正确，但过程中的方向处理是错误的。
   • 格林公式应用对象错误：学生在写出\(\oint_L ... = \frac{1}{\varepsilon^2}\oint_{L_1}(4x-y)dx+(x+y)dy\)后，下一步直接写为\(=\frac{1}{\varepsilon^2}\iint_{D_1}(1+1)dxdy\)。这里存在两个问题：
     1. 等式成立的条件不清晰。标准答案中，这一步是通过对由L和\(L_\varepsilon\)（注意方向相对）围成的区域应用格林公式，得到二重积分为0，再单独计算\(L_\varepsilon\)上的积分。学生的写法跳过了关键步骤，直接对\(L_1\)（即小椭圆）应用了格林公式，并计算了\(\frac{\part...