评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分，学生作答整体思路正确，但存在一处关键逻辑错误。

得分点与扣分点分析：

1. 收敛半径证明部分（第1次识别结果①与第2次识别结果1）： 学生正确使用了比值法求收敛半径，但第1次识别结果中的计算有误，写为 \(\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n + 1} = 1\)。根据题目条件 \((n+1) a_{n+1}=(n+\frac{1}{2}) a_{n}\)，正确的比值应为 \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}\)。这是一个逻辑错误。然而，在第2次识别结果中，学生正确地写出了 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+\frac{1}{2}}{n + 1}=1\)。根据“禁止扣分”规则第3条，只要其中有一次回答正确则不扣分。因此，此部分不扣分。
2. 建立微分方程部分（第1次识别结果②与第2次识别结果2）： 学生正确地定义了和函数 \(S(x)\)，求导后利用递推关系建立了一阶线性微分方程 \((1 - x)S'(x)-\frac{1}{2}S(x)=1\)。思路和推导过程正确，不扣分。
3. 求解微分方程部分（第1次识别结果②与第2次识别结果3）： 学生正确地识别出方程类型并应用通解公式求解。第1次识别结果中在整理方程后有一行“\(S(x) - S'(x) - \frac{1}{2(1 - x)}S(x) = \frac{1}{1 - x}\)”，这显然是识别错误或笔误（将“\((1-x)S'(x)\)”误识别为“\(S(x)-S'(x)\)”），但根据上下文和后续正确的求解过程，可以判断为误写。根据“禁止扣分”规则第4条，此误写不扣分。后续求解过程，包括积分计算、利用初值 \(S(0)=0\) 确定常数，最终得到和函数 \(S(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2\)，全部正确。

扣分总结： 学生作答的核心逻辑（求收敛半径、建立并求解微分方程）完全正确，最...