评分及理由

（I）得分及理由（满分3分）

学生正确指出因为 α 不是 A 的特征向量，所以 Aα 与 α 线性无关，从而 P 可逆。思路与标准答案一致，逻辑正确。但解答过程较为简略，没有像标准答案那样详细讨论线性相关时推出矛盾，不过核心点已说明。根据打分要求，思路正确不扣分，因此得满分3分。

（II）得分及理由（满分8分）

学生解答存在以下问题：

1. 在(II)开头写“由 \(A^{2}+A - 6E=0\)”，这是错误的，题目只给出 \(A^{2} \alpha+A \alpha-6 \alpha=0\)，这是向量等式，不能直接推出矩阵等式 \(A^2+A-6E=0\)。这是一个逻辑错误。
2. 后续推导虽然最终得到了特征值2和-3，并得出 \(P^{-1}AP\) 是对角阵 \(\begin{bmatrix}2&0\\0&-3\end{bmatrix}\)，但推导过程混乱，没有像标准答案那样通过计算 \(AP = P\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\) 得到 \(P^{-1}AP\) 的具体矩阵，而是直接断言 \(P^{-1}AP\) 就是对角阵。这缺少关键步骤，逻辑不完整。
3. 标准答案中 \(P^{-1}AP = \begin{pmatrix}0 & 6 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\)，然后求该矩阵的特征值，判断A可对角化。学生跳过了求 \(P^{-1}AP\) 的具体矩阵这一步，直接得到对角阵，这是不正确的。

因此，对于(II)问，学生没有正确求出 \(P^{-1}AP\)，判断对角化的过程也不严谨。由于存在明显的逻辑错误和关键步骤缺失，扣分较多。考虑到最终特征值结果正确，且判断A可对角化正确，给予部分分数。扣5分，得3分。

题目总分：3+3=6分