评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \( y = x + \frac{\pi}{2} \)。

该答案与标准答案 \( y = x + \frac{\pi}{2} \) 完全一致。

求解斜渐近线方程 \( y = ax + b \) 的正确思路是计算极限 \( a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \) 和 \( b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) \)。对于本题中的函数 \( y = \frac{x^3}{1 + x^2} + \arctan(1 + x^2) \)，计算可得： \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{\arctan(1+x^2)}{x} \right) = 1 + 0 = 1 \] \[ b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) \right) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \] 因此斜渐近线方程为 \( y = x + \frac{\pi}{2} \)。学生答案正确，思路与标准解法一致，没有逻辑错误，也没有多余或错误的步骤。根据打分要求，应给予满分。

题目总分：4分