评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(y' - y = 2x\)。标准答案为 \(y' - y = 2x - x^2\)。

学生答案与标准答案不一致。需要分析其思路是否正确。设一阶非齐次线性微分方程为 \(y' + P(x)y = Q(x)\)。已知两个特解 \(y_1 = x^2 - e^x\) 和 \(y_2 = x^2\)，则它们的差 \(y_1 - y_2 = -e^x\) 是对应齐次方程 \(y' + P(x)y = 0\) 的解。代入可得 \((-e^x)' + P(x)(-e^x) = 0\)，即 \(-e^x - P(x)e^x = 0\)，解得 \(P(x) = -1\)。因此方程形式为 \(y' - y = Q(x)\)。将特解 \(y_2 = x^2\) 代入以确定 \(Q(x)\)：\((x^2)' - (x^2) = 2x - x^2 = Q(x)\)。所以正确方程为 \(y' - y = 2x - x^2\)。学生答案缺少了 \(-x^2\) 项，说明在利用特解确定非齐次项 \(Q(x)\) 时计算不完整或存在逻辑错误，导致最终答案错误。根据打分要求，逻辑错误需扣分。因此，本题得分为0分。

题目总分：0=0分