评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答得分为0分。

理由：本题要求计算当 \( n \ge 2 \) 时 \( f^{(n)}(0) \) 的值。标准答案为 \( \frac{5}{2} \times 2^n \)。学生的作答内容为： \[ \begin{cases}2f^{(n - 1)}(0) & n > 2 \\ 2 + 2f^{(n - 1)}(0) & n = 0\end{cases} \] 首先，此答案是一个分段表达式，且条件与题目要求不符（题目要求 \( n \ge 2 \)，而学生答案中包含了 \( n=0 \) 的情形）。其次，即使忽略条件，答案中仍然包含未知的 \( f^{(n-1)}(0) \)，并未给出具体的数值结果，因此答案在形式上就不正确。从数学推导来看，题目给出的方程 \( f(x) = (x+1)^2 + 2\int_0^1 f(t) dt \) 中，令 \( A = \int_0^1 f(t) dt \)，则 \( A \) 是一个常数。代入方程可得 \( f(x) = (x+1)^2 + 2A \)。再对两边从0到1积分可解出 \( A \)，从而得到 \( f(x) = (x+1)^2 + \frac{5}{2} \)。于是 \( f^{(n)}(x) \) 当 \( n \ge 2 \) 时，只有 \( (x+1)^2 \) 的二阶导数为常数2，更高阶导数为0，但这里需要仔细计算：实际上 \( f(x) = x^2 + 2x + 1 + \frac{5}{2} = x^2 + 2x + \frac{7}{2} \)。所以 \( f''(x) = 2 \)，\( f^{(n)}(x) = 0 \) 对 \( n \ge 3 \)。这与标准答案 \( \frac{5}{2} \times 2^n \) 不一致。但标准答案本身可能是错误的？让我们验证：如果 \( f(x) = (x+1)^2 + C \)，则 \( C = 2\int_0^1 ((t+1)^2 + C) dt = 2\left[ \frac{(t+1)^3}{3} \right]_0^1 + 2C = 2\left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) + 2C = \frac{14}{3} + 2...