评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“2或±1”。本题标准答案为“2”。

矩阵等价的充要条件是它们具有相同的秩。设第一个矩阵为A，第二个矩阵为B。矩阵B通过初等行变换可化为行阶梯形，易知其秩为3（例如，三行不成比例，且行列式不为0，计算得det(B)=1*(-1*1 - 1*0) - 1*(0*1 - 1*1) + 0 = 1*(-1) - 1*(-1) = -1+1=0？这里需要仔细计算：det(B) = 1*(-1*1 - 1*0) - 1*(0*1 - 1*1) + 0*(0*0 - (-1)*1) = 1*(-1 - 0) - 1*(0 - 1) = -1 - (-1) = 0。所以B的行列式为0，秩小于3。进一步计算：B的第二行和第三行线性无关，第一行减去第三行得(0,1,-1)，与第二行(0,-1,1)成比例，所以秩为2）。因此，矩阵B的秩为2。

要使矩阵A与B等价，A的秩也必须为2。矩阵A的行列式为 det(A) = a*(a*a - (-1)*(-1)) - (-1)*((-1)*a - (-1)*(-1)) + (-1)*((-1)*(-1) - a*(-1)) = a(a^2 - 1) + 1*(-a - 1) - 1*(1 + a) = a^3 - a - a - 1 - 1 - a = a^3 - 3a - 2（这里合并计算：a^3 - a + (-a -1) + (-1 - a) = a^3 - a - a -1 -1 -a = a^3 - 3a - 2）。令 det(A) = 0，得 a^3 - 3a - 2 = 0。因式分解：(a-2)(a^2+2a+1)= (a-2)(a+1)^2 = 0。所以 a = 2 或 a = -1。

当 a = -1 时，矩阵A =
[-1, -1, -1;
-1, -1, -1;
-1, -1, -1]，其秩为1。
当 a = 2 时，矩阵A =
[2, -1, -1;
-1, 2, -1;
-1, -1, 2]，计算其秩：三行相加得(0,0,0)，所以行向量线性相关，且任意两行不成比例，故秩为2。
因此，只有当 a = 2 时，A的秩为2，与B的秩相等，两矩阵等价。学生给出的“2或±1”包含了正确答案2，但也包含了错误答案-1和1。其中a=1时，det(A)...