评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答提供了两次识别结果。第一次识别结果中，泰勒展开式有严重错误（例如将 cos 2x 展开为 \(1 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^2)\) 是错误的），并且后续推导逻辑混乱，最终得出极限为0的错误结论。因此，第一次识别结果逻辑错误明显，不能得分。

第二次识别结果中，泰勒展开部分基本正确，得到了 \(\cos2x + 2x\sin x - 1 = -\frac{1}{3}x^{4}+o(x^{4})\)，这与标准答案一致。然而，在后续处理极限 \(\lim_{x\rightarrow0}(-\frac{1}{3}x^{4})^{\frac{1}{x^{4}}}\) 时，学生犯了关键性逻辑错误。对于 \(1^\infty\) 型未定式，正确的处理方法是利用公式 \(\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x)(f(x)-1)}\) 或等价无穷小替换后取对数。学生直接将底数替换为等价无穷小 \(-\frac{1}{3}x^4\)，并计算 \(\lim_{x\rightarrow0}(-\frac{1}{3}x^{4})^{\frac{1}{x^{4}}}\)，这改变了极限的类型（从 \(1^\infty\) 型变为 \(0^\infty\) 型），导致后续分析完全错误，最终得出极限为0的结论。标准答案的正确结果是 \(e^{\frac{1}{3}}\)。

学生的核心思路（先泰勒展开）前半部分正确，但后半部分处理极限的关键步骤存在根本性逻辑错误，导致最终答案错误。根据打分要求“逻辑错误扣分”，且此错误直接导致结果错误，应扣除大部分分数。考虑到展开部分正确，给予部分步骤分。

得分：3分（满分10分）。扣分理由：泰勒展开正确得部分分，但极限计算的核心逻辑错误导致最终答案错误，扣除7分。

题目总分：3分