评分及理由

本题满分12分，主要考查一阶线性微分方程的求解以及曲线弧长的计算。学生作答提供了两次识别结果，内容基本一致，均正确求解了微分方程并计算了弧长。

（1）微分方程求解部分（满分约6分）

学生正确识别出原方程为一阶线性微分方程 \(y'-\frac{2}{x}y = \frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2x}\)，并正确应用了通解公式。在积分计算 \(\int x^{-3}\ln x dx\) 时，第一次识别结果的中间步骤（如 \(\int \frac{1}{2}dx^{2}\cdot \ln x\)）表述混乱且有笔误（如将 \(x^{-3}\) 误写为 \(x^{3}\)），但最终得到了正确结果 \(Cx^{2}-\frac{1}{2}\ln x\)。第二次识别结果对此积分过程给出了清晰正确的分部积分计算。代入初始条件 \(y(1)=\frac{1}{4}\) 后，得到正确特解 \(y(x)=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\ln x\)。尽管第一次识别过程的中间步骤有瑕疵，但核心思路和最终结果正确。根据“思路正确不扣分”和“误写导致的逻辑错误不扣分”的原则，此部分不扣分。

得分：6分

（2）弧长计算部分（满分约6分）

学生正确求导得到 \(y'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\)，并代入弧长公式 \(s=\int_{1}^{e} \sqrt{1+(y')^2} dx\)。在计算 \(\sqrt{1+(y')^2}\) 时，学生通过代数运算正确化简为 \(\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\)（第一次识别结果中写为 \(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\)，意义相同）。随后正确计算定积分，得到最终结果 \(\frac{e^{2}+1}{4}\)。整个过程逻辑清晰，计算正确。

得分：6分

题目总分：6+6=12分