评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答给出了两次识别结果，但两次的最终答案均为 \(I = 2\pi - 2\)，与标准答案一致。

从过程来看：

1. 学生正确地将积分区域 \(D\) 分为两部分（对应于直线 \(y = x+2\) 和圆 \(x^2+y^2=4\) 所围区域），并采用了极坐标变换。
2. 在第一次识别结果中，学生写出了直线在极坐标下的方程 \(r = \frac{2}{\sin\theta - \cos\theta}\)，并正确地将积分拆分为 \(\theta\) 从 \(\frac{\pi}{2}\) 到 \(\pi\) 和从 \(0\) 到 \(\frac{\pi}{2}\) 两部分。计算过程中，对第一部分积分时，内层对 \(r\) 积分后得到 \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2d\theta = \pi\)；对第二部分积分时，计算得到 \(\pi - 2\)。两者相加得 \(2\pi - 2\)。整个思路和计算步骤与标准答案一致，仅在个别书写细节上略有差异（如第一次识别中①式被积函数写成了 \((\sin\theta - \cos\theta)^2\)，但后续计算时实际上仍按 \((\cos\theta - \sin\theta)^2\) 处理，因为平方后相等，不影响结果）。
3. 在第二次识别结果中，虽然直线方程在极坐标变换后的分母误写为 \(\sin\theta + \cos\theta\)（“识别结果”中出现了 \(\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}\)），但在后续计算中，实际上仍然按照 \(\frac{2}{\sin\theta - \cos\theta}\) 的逻辑进行（例如在计算内层积分后写出的表达式为 \(\frac{2}{(\sin\theta+\cos\theta)^2}\)，但紧接着又用恒等式化简，并最终得到 \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2d\theta = \pi\)，这与标准答案中该部分结果为 \(\pi\) 一致）。考虑到题目要求中“对于判定为误写的字符，误写导致的逻辑错误不扣分”，且最终答案正确，可以认为这里的“+”是识别错误，实际应为“-”，不扣分。
4. 整体而言，学生的解题思路清晰，区域划分正确，极坐标变换应用得当，积分计算...