评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 部分（满分6分）

学生正确写出偏导数 \( f_x = -2xe^{-y} \)，并通过对 \( x \) 积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + \varphi(y) \) 的形式（第一次识别中积分写法略有简化，但思路正确）。接着利用 \( f_y = e^{-y}(x^2 - y - 1) \) 确定 \( \varphi'(y) = -(y+1)e^{-y} \)，积分得到 \( \varphi(y) = (y+2)e^{-y} + C \)，代入初值 \( f(0,0)=2 \) 得 \( C=0 \)，最终得到 \( f(x,y) = e^{-y}(y+2-x^2) \)。整个过程与标准答案一致，计算无误。因此该部分得满分6分。

（2）求极值部分（满分6分）

学生正确求出驻点：令 \( f_x=0 \) 得 \( x=0 \)，代入 \( f_y=0 \) 得 \( y=-1 \)，驻点为 \( (0,-1) \)。然后计算二阶偏导数：\( A = f_{xx} = -2e^{-y} \)，\( B = f_{xy} = 2xe^{-y} \)，\( C = f_{yy} = -e^{-y}(x^2-y) \)（注意：学生给出的 \( C \) 表达式与标准答案 \( e^{-y}(x^2-y) \) 差一个负号，但代入驻点后实际数值一致，均为 \( C = -e \)，这可能是识别或书写时的符号误差，但未影响后续判断，根据“误写不扣分”原则，不扣分）。在驻点处计算 \( A = -2e \)，\( B=0 \)，\( C=-e \)，得到 \( AC-B^2 = 2e^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \)，从而判定在 \( (0,-1) \) 处取得极大值，极大值为 \( f(0,-1)=e \)。推理过程完整且正确。因此该部分得满分6分。

题目总分：6+6=12分