评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答的整体思路与标准答案一致：利用积分区域关于直线 \(y = x\) 的对称性，将原积分转化为在对称部分上积分的两倍，然后采用极坐标进行计算。最终计算结果正确。

具体分析：

1. 对称性分析与区域划分：学生正确指出区域 \(D\) 关于 \(y = x\) 对称，并利用此性质将积分化为 \(2\iint_{D_1}(x - y)^2 dxdy\)。这一关键步骤正确，与标准答案思路一致。
2. 极坐标变换：学生正确设 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)。
3. 积分区域 \(D_1\) 的极坐标表示：这是学生作答与标准答案的主要差异点。
   • 第一次识别结果中，给出的区域为 \(0 \leq \theta \leq 3\pi/4, 0 \leq r \leq 4\sin\theta\)。这个描述是错误的，它描述的是圆 \(x^2 + (y-2)^2 \leq 4\) 在 \(y \leq x\) 部分（即 \(D_1\)）的极坐标方程，但 \(r\) 的上限应为 \(4\sin\theta\)，且 \(\theta\) 范围应为 \(0 \leq \theta \leq \pi/4\)。第一次识别中的 \(\theta\) 上限 \(3\pi/4\) 是错误的。
   • 第二次识别结果中，给出的区域为 \(0 \leq \theta \leq \pi/4, 0 \leq r \leq 4\sin\theta\)。这个描述是正确的，它准确地描述了 \(D_1\)（即圆 \(x^2 + (y-2)^2 \leq 4\) 中满足 \(y \leq x\) 的部分）在极坐标下的表示。
   • 根据题目要求“对学生作答进行了两次识别，只要其中有一次回答正确则不扣分”，且第二次识别结果正确，因此对于区域描述不扣分。
4. 积分计算过程：
   • 学生写出被积函数 \((x-y)^2 = r^2 - 2r^2\cos\theta\sin\theta\)，积分体积元为 \(r dr d\theta\)，因此被积式化为 \((r^3 - 2r^3\cos\theta\sin\theta) dr d\theta\)，这一步正确。
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