评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别结果，其中第二次识别结果逻辑基本正确，但表述存在不严谨和错误之处。具体分析如下：

• 思路正确部分：学生试图利用原函数和牛顿-莱布尼茨公式来证明，这是一个可行的思路。在第二次识别中，学生正确地写出了 \(\int_{a}^{a+T} f(x) dx = F(a+T) - F(a)\)，并指出若该积分为常数 \(b\)，则对其关于 \(a\) 求导可得 \(f(a+T) - f(a) = 0\)，从而推出 \(f(x)\) 以 \(T\) 为周期。这构成了充分性的证明。
• 逻辑错误部分：
  1. 在第一次识别中，学生错误地断言“若 \(f(x)\) 周期为 \(T\)，则 \(F(x)\) 的周期也一定为 \(T\)”。这是不正确的，周期函数的原函数不一定是周期函数（例如 \(f(x)=1\) 周期任意，其原函数 \(F(x)=x\) 无周期）。此错误属于对周期函数原函数性质的误解，但该部分属于必要性证明的尝试，而学生后续并未利用此错误结论完成有效证明。由于第二次识别中已修正此说法，且根据“两次识别中只要有一次正确则不扣分”的原则，此处不扣分。
  2. 在第一次识别的最后，学生推导出“\(f(T) = f(\alpha + T) - f(\alpha) = 0\)”，这显然是错误的表达式和结论，且与证明目标无关。这属于逻辑错误。
  3. 在第二次识别中，学生完成了充分性的论证，但完全没有证明必要性（即从 \(f(x)\) 周期为 \(T\) 推出积分是常数）。题目要求证明充分必要条件，因此缺失一半的证明内容。
• 扣分依据：本题满分12分，证明包含必要性和充分性两部分。学生作答仅完成了充分性证明（尽管思路正确），完全缺失了必要性证明。因此，只能获得充分性部分对应的分数。通常此类证明题两部分分值相当，各占6分。学生的充分性证明虽然核心步骤正确，但过程过于简略，没有明确写出对常数 \(C\) 求导的步骤，表述为“则 \(F'(a + T)-F'(a)=0\)”略显跳跃，可酌情扣1分。故充分性部分得分约为5分。必要性部分得0分。
• 最终得分：必要性部分0分 + 充分性部分5分 = 5分。

题目总分：0+5=5分

题目总分：5分