评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过相似矩阵行列式相等得到 a = -4，这一步正确。在求 b 时，学生给出的计算过程为“(-1,0,1)乘以(0,-1,1)^T = b”，这实际上是在计算 (A-E) 的第一行与解向量的内积，并令其等于 b。代入 a = -4 后，A 的第一行为 (-1, 0, 1)，(A-E)的第一行为 (-2, 0, 1)，与 (0, -1, 1) 的内积确实是 1，所以得到 b=1。虽然学生的书写过程不够规范（未明确写出 A-E），但核心计算和结果正确。因此，第(1)问得满分 6 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确地写出了矩阵 A，并求出了特征值 1（二重）和 2。在求解特征值 1 对应的特征向量时，学生计算得到 ξ₁ = k(0,1,0)^T，并指出“只有一个特征向量，无法相似对角化”。这里存在逻辑错误：矩阵 A 与 B 相似是题目已知条件，而 B 是若尔当标准型（特征值 1 对应一个二阶若尔当块），这意味着 A 确实不可对角化，但 A 关于特征值 1 的线性无关特征向量应该只有一个。然而，学生计算出的特征向量 (0,1,0)^T 与标准答案中特征值 1 对应的特征向量 (1,-1,2)^T 不一致。这表明学生在求解 (E-A)x=0 时出现了计算错误（例如，矩阵 E-A 写错或化简错误），导致得到了错误的特征向量。由于特征向量求错，后续利用相似性计算 A^{100} 的步骤无法进行，因此第(2)问只能得到部分分数。考虑到学生正确求出了特征值，并意识到了矩阵不可对角化，但核心计算（特征向量）错误，扣 4 分，得 2 分。

题目总分：6+2=8分