评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答给出了积分区域 \(D\) 的正确描述 \(D=\{(x,y)|(x - 2)^2 + y^2\leq4, x^2 + (y - 2)^2\leq4\}\)，并正确指出了区域关于 \(y = x\) 对称。这是解题的关键第一步，思路正确。

然而，后续的解题过程存在严重的逻辑错误和计算错误，具体如下：

1. 对称性利用错误：学生写出了 \(\iint_{D}(x - y)^2dxdy=\iint_{D}(x - y)^2dxdy+\iint_{D}(y - x)^2dxdy\)，这实际上是一个恒等式，没有利用对称性进行化简，且写法冗余。正确的做法应是利用对称性将区域分为两部分，并将被积函数化为相同形式，从而得到 \(I = 2\iint_{D_1} (x - y)^2 dxdy\)。
2. 变量代换错误：学生进行了令 \(u = x, v = y\) 的代换，这是一个恒等变换，没有任何作用，属于无效步骤。
3. 极坐标转换错误：学生尝试转换为极坐标，但写出了极其混乱且错误的积分限和被积函数：
   • 积分限 \(\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}d\theta\) 上下限顺序错误，且角度范围与区域 \(D_1\) 不符。
   • 径向积分限 \(4(\sin\theta+\cos\theta)-4\) 到 \(2\) 是错误的，正确的上限应为 \(4\sin\theta\) 或 \(4\cos\theta\)（取决于所选子区域）。
   • 被积函数 \(r^{4}-2r^{3}\sin\theta\cos\theta + 4r^{2}(\sin\theta-\cos\theta)+4r\) 或 \(r^2-2r^2\sin\theta\cos\theta + 4r^2(\sin\theta-\cos\theta)+4r\) 是错误的。在极坐标下，\((x-y)^2 = r^2(1-2\sin\theta\cos\theta)\)，积分微元为 \(rdrd\theta\)，因此被积函数应为 \(r^3(1-2\sin\theta\cos\theta)\)。
4. 直角坐标积分表达式错误：学生最后尝试了直角坐标积分，但积分限 \(\int_{0}^{2}dx\int_{\sqrt{4 - x^2}+2}^{\sqrt{4-(x - 2)...