评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 a=4，并说明 A 与 B 合同意味着它们有相同的正负惯性指数，且由 B 的特征值可知 A 有特征值 0，从而 |A|=0 求出 a。计算特征多项式得到特征值为 6, 3, 0，因此正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，从而推出 k>0。思路和结果完全正确。

但在第一次识别中，学生将矩阵 A 写为 \(\begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}\)，其中第三行第二列应为 1 但写成了 -1（可能是识别错误或笔误），不过后续计算特征多项式时使用的矩阵是正确的（\(\lambda E-A\) 的矩阵元素与标准答案一致），且最终结果 a=4 和特征值均正确，因此不扣分。

得分：6 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确指出由 Q 为正交矩阵且 Q^TAQ=B 可得 A 与 B 相似，从而特征值相同，因此 k=3。接着分别求出特征值 3,6,0 对应的特征向量，并单位化得到正交矩阵 Q。

在第一次识别中，学生给出的 Q 矩阵第一列和第三列都写成了 \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)，这显然是计算或书写错误（应为 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 和 \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)），但第二次识别结果中 Q 矩阵完全正确（与标准答案一致）。根据题目要求，两次识别中只要有一次正确即不扣分，因此这里不扣分。

另外，在第一次识别中解特征向量时，对 3E-A 和 -A 的行化简结果与标准答案略有不同，但最终得到的特征向量是正确的，可能是化简步骤书写差异，不影响结果。

得分：6 分。

题目总分：6+6=12分