评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“(2/3，4/3，-1)”。

题目要求计算函数 \( u(x,y,z)=xy^{2}z^{3} \) 在点 (1,1,1) 处沿方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

正确的解题思路是：先计算函数在点 (1,1,1) 处的梯度 \(\nabla u = (u_x, u_y, u_z)\)，然后计算方向向量 \(\boldsymbol{n}\) 的单位向量 \(\boldsymbol{n}^0\)，最后计算梯度与单位方向向量的点积，即方向导数。

计算过程：
\( u_x = y^2 z^3 \)，在 (1,1,1) 处值为 1。
\( u_y = 2xy z^3 \)，在 (1,1,1) 处值为 2。
\( u_z = 3xy^2 z^2 \)，在 (1,1,1) 处值为 3。
因此，梯度 \(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。
方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的模为 \(\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)。
单位方向向量 \(\boldsymbol{n}^0 = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)。
方向导数为 \(\nabla u \cdot \boldsymbol{n}^0 = (1, 2, 3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\)。

学生给出的答案“(2/3，4/3，-1)”看起来像是将梯度分量 (1, 2, 3) 分别与方向向量分量 (2, 2, -1) 相乘得到 (2, 4, -3)，然后可能试图进行某种归一化或组合，但并未完成正确的方向导数计算。该答案既不是最终的方向导数值（应为标量1），也不是正确的单位...