评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分4分）

学生利用相似矩阵的迹相等和行列式相等（或秩相等）来求 a，思路正确。第一次识别结果中给出 a = -1，但未说明排除 a = 1 的理由；第二次识别结果同样直接得到 a = -1。标准答案中先由 |A|=0 得 a=±1，再通过迹排除 a=1。学生虽然未完整写出排除过程，但最终结果正确，且题目中 a≠0 的条件已满足。考虑到核心逻辑正确，且结果无误，扣1分（因过程不够完整，但根据“思路正确不扣分”原则，这里主要因表述跳跃而适当扣分）。得分：3分

（Ⅱ）得分及理由（满分4分）

学生正确写出 a = -1 时的 A 和 B，并计算了特征值和特征向量。但在特征向量的求解和单位化中存在多处错误：
1. 对于 A 的特征值 1 的特征向量，第一次识别给出 s₂=(1,0,0)ᵀ，第二次识别给出 ξ₂=(1,0,0)ᵀ 且单位化后 η₂ 有误（应为 (0,1,0)ᵀ 或等价向量）。实际上，由 (E-A)x=0 可得特征向量应为 (0,1,0)ᵀ，学生给出的 (1,0,0)ᵀ 不正确。
2. 对于 A 的特征值 -2 的特征向量，第一次识别给出 s₃=(-1,0,1)ᵀ 正确，但单位化 n₃ 正确；第二次识别却给出 ξ₃=(0,0,1)ᵀ，明显错误。
3. 对于 B 的特征向量，第一次识别中 n₆ 的单位化结果与 n₄ 相同，应为 (-√2/2, √2/2, 0)ᵀ 之误；第二次识别中 η₆ 正确。
4. 学生虽然给出了构造正交矩阵 Q 的思路（Q = (η₁,η₂,η₃)(η₄,η₅,η₆)⁻¹），但由于特征向量错误，导致无法得到正确的 Q，且未计算出最终 Q 的矩阵形式。
因此，该部分存在实质性错误，不能给满分。但考虑到学生正确求出了特征值，并知道用相似对角化构造 Q 的思路，给部分分数。得分：1分

（Ⅲ）得分及理由（满分4分）

学生直接计算了 AB 的乘积，但给出的 AB 矩阵不一致（第一次识别结果为 \(\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&0\\1&1&-1\end{pmatrix}\)，第二次识别结果为 \(\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&-1&0\\-1&1&-1\end{pmatrix}\)），且均与标准答案中的 AB 不同。实际上，当 a=-1 时，A 和 B 如学生所...