2022年考研数学（一）考试试题 - 第17题回答

好的，我们先分析学生的两次识别结果，然后对照标准答案逐步评判。 --- **第一步：看标准答案的解题步骤** 1. 解一阶线性微分方程 \( y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y = 2 + \sqrt{x} \)，初值 \( y(1) = 3 \)。 2. 积分因子 \( e^{\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx} = e^{\sqrt{x}} \)。 3. 通解公式得 \( y = e^{-\sqrt{x}} \left[ \int (2+\sqrt{x}) e^{\sqrt{x}} dx + C \right] \)。 4. 换元 \( u = \sqrt{x} \) 计算积分，得 \( y = 2x + C e^{-\sqrt{x}} \)。 5. 代入初值得 \( C = e \)，所以 \( y = 2x + e^{1-\sqrt{x}} \)。 6. 渐近线分析： - 铅直渐近线：定义域 \( x \ge 0 \)，无间断点，无铅直渐近线。 - 水平渐近线：\( x \to +\infty \) 时 \( y \to +\infty \)，无水平渐近线。 - 斜渐近线： \[ a = \lim_{x\to +\infty} \frac{y}{x} = 2, \quad b = \lim_{x\to +\infty} (y - 2x) = 0 \] 所以斜渐近线为 \( y = 2x \)。 --- **第二步：看学生第一次识别结果** 第一次识别中，学生解微分方程时积分因子算错： 原方程 \( y' + \frac{1}{2\sqrt{x}} y = 2+\sqrt{x} \) 学生写成 \( y' + \frac{1}{2x} y = 2+\sqrt{x} \)（识别可能把 \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 识别成 \( \frac{1}{2x} \)），这是关键错误。 因此积分因子算成 \( e^{\int \frac{1}{2x} dx} = e^{\frac12 \ln x} = \sqrt{x} \)，导致通解形式完全错误。 后面积分计...

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