评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分，学生作答整体思路正确，但在最大似然估计量的推导过程中出现了明显的逻辑错误，导致最终估计量表达式错误。具体分析如下：

1. 概率密度函数：第一次识别结果中 \( f_X(x) \) 的表达式写为 \( e^{-\frac{2x}{\theta}} \) 是错误的（应为 \( \frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}} \)），但第二次识别结果已正确写出。根据“禁止扣分”原则，若识别结果中存在一次正确，则不扣分。此处不扣分。

2. 似然函数：第一次识别结果中似然函数 \( L(\theta) \) 的表达式有误（分母指数和指数项均错误），但第二次识别结果完全正确。根据“禁止扣分”原则，不扣分。

3. 最大似然估计量推导：这是核心错误。学生两次识别结果在求解最大似然估计量时均出现错误：
- 第一次识别：对 \( \ln L(\theta) \) 求导后得到 \( \frac{d(\ln L(\theta))}{d\theta} = -\frac{m+n}{\theta m} + \frac{\sum x_i}{\theta^2} + \frac{\sum y_j}{2\theta^2} = 0 \)，其中 \( -\frac{m+n}{\theta m} \) 明显错误（应为 \( -\frac{m+n}{\theta} \)），导致后续解出的 \( \theta \) 表达式错误（\( \theta = \frac{\sum x_i}{m+2} + \frac{\sum y_j}{2(m+n)} \) 以及估计量 \( \hat{\theta} = \frac{\sum X_i}{m+2n} + \frac{\sum Y_j}{2(m+n)} \) 均不正确）。
- 第二次识别：求导过程正确（\( -\frac{m+n}{\theta} + \frac{\sum x_i}{\theta^2} + \frac{\sum y_j}{2\theta^2} = 0 \)），但解出的估计量表达式为 \( \hat{\theta} = \frac{\sum x_i}{m+n} + \frac{\sum y_j}{2(m+n)} \)，这与标准答案 \( \hat{\th...