评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“-48”。

我们需要根据已知条件计算行列式 |B|。已知伴随矩阵 \( A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)。对于可逆矩阵 A，有性质 \( A^* = |A| A^{-1} \)。首先计算 |A*|：

\( |A^*| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 \times 1 = 1 \)。

又因为 \( |A^*| = |A|^{n-1} \)，这里 n=3，所以 \( |A|^2 = 1 \)，解得 \( |A| = \pm 1 \)。

由于 \( A^* = |A| A^{-1} \)，且 A* 的主对角线元素均为 1，若 |A| = -1，则 \( A^{-1} = -A^* \)，其 (1,1) 元素为 -1，这与 A* 的 (1,1) 元素为 1 不矛盾，但需要进一步判断。更严谨地，由 \( A^* = |A| A^{-1} \) 可得 \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* \)。代入方程 \( A^{-1}BA + BA + 2E = O \)，得到：

\( \frac{1}{|A|} A^* B A + B A + 2E = O \)。

左乘 A^{-1}（或右乘 A^{-1}）来化简是常见思路，但更直接的方法是将其视为关于矩阵 B 的方程。将方程右乘 \( A^{-1} \)：

\( \frac{1}{|A|} A^* B + B + 2A^{-1} = O \)。

即 \( B \left( \frac{1}{|A|} A^* + E \right) = -2A^{-1} \)。

两边取行列式：

\( |B| \cdot \left| \frac{1}{|A|} A^* + E \right| = (-2)^3 |A^{-1}| = -8 \cdot \frac{1}{|A|} \)。

现在需要计算 \( \left| \frac{1}{|A|} A^* + E \right| \)。已知 A* 如上，且 |A| =...