评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：ln2x＋二分之一倍的ln（5y²比x²-4y比x+3）=0。
这是一个隐函数形式的表达式，其中包含了变量x和y的关系。我们需要判断它是否与标准答案 \(3x^{2}-4xy + 5y^{2}=4\) 等价。

1. 化简学生答案：学生答案为 \(\ln(2x) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3\right) = 0\)。
   • 利用对数性质：\(\frac{1}{2}\ln(A) = \ln(\sqrt{A})\)，原式可写为 \(\ln(2x) + \ln\sqrt{\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3} = 0\)。
   • 合并对数：\(\ln\left(2x \cdot \sqrt{\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3}\right) = 0\)。
   • 由 \(\ln C = 0\) 得 \(C = 1\)，即 \(2x \cdot \sqrt{\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3} = 1\)。
   • 两边平方：\(4x^2 \cdot \left(\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3\right) = 1\)。
   • 化简括号内：\(\frac{5y^2}{x^2} - \frac{4y}{x} + 3 = \frac{5y^2 - 4xy + 3x^2}{x^2}\)。
   • 代入得：\(4x^2 \cdot \frac{5y^2 - 4xy + 3x^2}{x^2} = 1\)，即 \(4(5y^2 - 4xy + 3x^2) = 1\)。
   • 展开：\(20y^2 - 16xy + 12x^2 = 1\)。
   • 整理：\(12x^2 - 16xy + 20y^2 = 1\)。
2. 与标准答案对比：标准答案为 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4\)。
   • 将学生答案等式两边同时除以4：\(3x^2 - 4xy + 5y^2 = \frac{1}{4}\)。
   • 显然 \(\frac{1}{...