评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为“2”。

题目分析：已知 \(\varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) d t\)，且 \(\varphi(1)=1\)，\(\varphi'(1)=5\)，要求 \(f(1)\)。

1. 首先计算 \(\varphi(1)\)：将 \(x=1\) 代入，得 \(\varphi(1) = \int_{0}^{1} 1 \cdot f(t) dt = \int_{0}^{1} f(t) dt\)。已知 \(\varphi(1)=1\)，所以 \(\int_{0}^{1} f(t) dt = 1\)。
2. 接着计算 \(\varphi'(x)\)。这里 \(x\) 既是积分上限的一部分，又是积分号外的乘积因子，需用乘积法则和变上限积分求导法则： \[ \varphi(x) = x \cdot \int_{0}^{x^2} f(t) dt \] 令 \(u(x) = x\)，\(v(x) = \int_{0}^{x^2} f(t) dt\)，则 \(\varphi'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)。 其中 \(v'(x) = f(x^2) \cdot (x^2)' = f(x^2) \cdot 2x\)。 因此， \[ \varphi'(x) = 1 \cdot \int_{0}^{x^2} f(t) dt + x \cdot [f(x^2) \cdot 2x] = \int_{0}^{x^2} f(t) dt + 2x^2 f(x^2) \]
3. 代入 \(x=1\)，已知 \(\varphi'(1)=5\)，得： \[ 5 = \int_{0}^{1} f(t) dt + 2 \cdot 1^2 \cdot f(1) \] 由第一步知 \(\int_{0}^{1} f(t) dt = 1\)，代入得： \[ 5 = 1 + 2f(1) \] 解得 \(f(1) = 2\)。

学生答案“2”与标准答案完全一致，计算过程虽未展示，但最终结果正确。根据评分要求，结果正确即得满分。

得分：4分。

题目总分：4分