评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分。学生作答分为两次识别，其中第一次识别结果存在明显的逻辑错误和计算错误，第二次识别结果在计算V1时正确，但在计算V2时采用了错误的方法（绕y轴旋转的体积公式使用错误），且最终答案A=√2与标准答案A=8/π不符。具体分析如下：

• V1的计算（思路正确，计算正确）：学生正确使用了绕x轴旋转的体积公式，积分计算过程正确，得到V1 = (π²A²)/4。此部分可得满分对应的分数比例（约占该题总分的1/3，即约3.3分）。
• V2的计算（思路错误）：学生错误地使用了公式 V₂ = π∫[0,1] (arcsin(y/A))² dy。这是将区域绕y轴旋转时，错误地使用了圆盘法（或更准确地说，是错误地将x表示为y的函数后直接平方积分）。正确的公式应为柱壳法：V₂ = 2π∫[0, π/2] x·f(x) dx = 2π∫[0, π/2] x·A sin x dx。学生的方法从根本上是错误的，导致后续复杂的换元和分部积分都建立在错误的基础上。此部分逻辑错误严重，应扣除主要分数（约占该题总分的2/3，即约6.7分）。
• 方程建立与求解：由于V2表达式错误，后续的等式建立和求解过程即使代数运算无误，也因前提错误而失去意义，最终答案错误。
• 总体评分：考虑到V1部分计算正确，给予部分分数。但V2部分核心思路错误，且最终答案错误，不能给予高分。综合评定，给予3分。

题目总分：3分