评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答提供了两次识别结果，两次结果的核心思路、关键步骤和最终答案均与标准答案一致。

第一次识别中，学生从已知的混合偏导 \(f_{xy}''(x, y)=2(y+1) e^{x}\) 出发，对 \(y\) 积分得到 \(f_x'(x, y)\)，并利用条件 \(f_x'(x, 0)=(x+1)e^x\) 确定积分“常数” \(\varphi(x)\)。随后对 \(x\) 积分得到 \(f(x, y)\)，并利用条件 \(f(0, y)=y^2+2y\) 确定最终常数。接着正确求出一阶偏导并找到唯一驻点 \((0, -1)\)，计算二阶偏导及判别式，判定该点为极小值点，并算出极小值为 \(-1\)。整个过程逻辑清晰，计算正确。

第二次识别在表述上略有不同（例如设 \(f_x'(x,y)=(x+1)e^x + g(y)\)），但本质思路和计算过程与第一次识别及标准答案完全相同，结果也一致。

根据评分要求：
1. 思路正确且与标准答案一致，不扣分。
2. 计算过程与结果完全正确，不扣分。
3. 尽管作答中存在一些笔误或表述不严谨的地方（如第一次识别中“\(f_{x}'(x,y)=(x+1)e^{x}+cy'\)”和“\(f_{x}'(x,y)=(y^{2}+2y)e^{x}+cx\)”的写法），但结合上下文可知是识别误差或书写笔误，并未影响后续正确的推导逻辑和最终结果。根据“禁止扣分”规则，此类误写不扣分。
4. 学生作答包含了完整的求解过程，且最终答案正确。

因此，本题给予满分。

题目总分：10分