评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一步利用对称性分析正确：区域D关于y轴对称，且被积函数中x(x+y) = x² + xy，其中xy关于x是奇函数，在对称区域上积分为0，因此原积分等于∬_D x² dxdy。这一步思路正确。

但是，后续计算出现严重错误：

1. 在极坐标变换中，区域D的边界由y=x²和x²+y²=2组成。学生将第一象限部分分为两部分（0≤θ≤π/4和π/4≤θ≤π/2）是正确的，但两个部分的极坐标表示均存在错误：
• 对于0≤θ≤π/4部分，从抛物线y=x²转换到极坐标应为r sinθ = r² cos²θ，即r = sinθ/cos²θ（因为r≥0），但学生第一次识别结果中写成了“r从cosθ/sinθ到sinθ/cosθ”，第二次识别结果中写成了“从0到sinθ/cos²θ”，后者正确但后续计算仍出错。
• 对于π/4≤θ≤π/2部分，边界应为从原点出发到圆周x²+y²=2，即r从0到√2，但被积函数中应为r³ cos²θ（因为x² = r²cos²θ，dxdy = r dr dθ），学生第二次识别中写成了r² cosθ，这是笔误，但后续计算中实际用了r³，所以可能是识别问题，不扣分。
2. 积分计算过程出现多处错误：
• 第一次识别中，计算∫_π/4^π/2 dθ ∫₀^√2 r² cosθ dr 明显错误（被积函数应为r³ cos²θ）。
• 第二次识别中，计算∫_π/4^π/2 cos²θ dθ 得到 π/4，但实际应为 π/8（计算过程已写出π/8，但后面又写成了π/4，矛盾）。
• 最后计算∫₀^π/4 sin⁴θ/cos⁶θ dθ，令t=tanθ，则 sin⁴θ/cos⁶θ = tan⁴θ sec²θ = t⁴ (1+t²)？实际上：sin⁴θ/cos⁶θ = (sin⁴θ/cos⁴θ) * (1/cos²θ) = tan⁴θ * sec²θ = t⁴ * (1+t²)？不对，sec²θ = 1+tan²θ = 1+t²，所以被积函数应为 t⁴ (1+t²) dt，积分从0到1，结果是 ∫₀¹ (t⁴ + t⁶) dt = 1/5 + 1/7 = 12/35，而不是简单的1/5。学生忽略了sec²θ = 1+tan²θ 的关系，直接当成了 dt，导致积分计算错误。
3. 最终答案学生得到 1/10 + π/2，而正确答案是 π/4 - 2/5...