评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \( 1/x^2 \)。

欧拉方程 \( x^{2}y'' + xy' - 4y = 0 \) 的特征方程为 \( r(r-1) + r - 4 = 0 \)，即 \( r^2 - 4 = 0 \)，解得 \( r = 2 \) 或 \( r = -2 \)。因此通解为 \( y = C_1 x^2 + C_2 x^{-2} \)。

代入初始条件 \( y(1) = 1 \)，\( y'(1) = 2 \)：
由 \( y(1) = C_1 + C_2 = 1 \)，
\( y' = 2C_1 x - 2C_2 x^{-3} \)，代入 \( x=1 \) 得 \( y'(1) = 2C_1 - 2C_2 = 2 \)，即 \( C_1 - C_2 = 1 \)。
联立解得 \( C_1 = 1 \)，\( C_2 = 0 \)。因此特解为 \( y = x^2 \)。

学生答案 \( 1/x^2 \) 对应于 \( C_1 = 0, C_2 = 1 \)，不满足初始条件 \( y'(1) = 2 \)（此时 \( y'(1) = -2 \)）。因此答案错误。

根据题目要求，填空题正确得5分，错误得0分，且禁止给步骤分。故本题得分为0分。

题目总分：0分