评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1/8”，与标准答案“\(\frac{1}{8}\)”完全一致。题目要求计算傅里叶正弦级数和函数 \(S(x)\) 在 \(x = -\frac{7}{2}\) 处的值。由于给定的函数 \(f(x)\) 定义在 \([0, 1]\) 上，其傅里叶正弦级数展开对应于奇延拓，因此和函数 \(S(x)\) 是一个以 \(2\) 为周期的奇周期函数。计算 \(S(-\frac{7}{2})\) 时，可以利用周期性：\(S(-\frac{7}{2}) = -S(\frac{7}{2})\)。再根据周期性 \(S(\frac{7}{2}) = S(\frac{7}{2} - 2 \times 2) = S(-\frac{1}{2})\)，而由奇性 \(S(-\frac{1}{2}) = -S(\frac{1}{2})\)。在区间 \([0,1]\) 内，\(S(x)\) 等于 \(f(x)\) 在连续点处的值，在间断点处等于左右极限的平均值。在 \(x = \frac{1}{2}\) 处，\(f(x)\) 有定义且连续（左极限为0，右极限为\((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)，但函数值定义为 \(\frac{1}{4}\)，因此连续），故 \(S(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)。因此，\(S(-\frac{7}{2}) = -S(\frac{7}{2}) = -S(-\frac{1}{2}) = -[-S(\frac{1}{2})] = S(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\)？这里需要仔细核对：实际上，\(S(-\frac{7}{2}) = -S(\frac{7}{2})\)，而 \(\frac{7}{2} = 3.5\)，减去两个周期（4）得到 \(-\frac{1}{2}\)，即 \(S(\frac{7}{2}) = S(-\frac{1}{2})\)。由奇性，\(S(-\frac{1}{2}) = -S(\frac{1}{2})\)。所以 \(S(-\frac{7}{2}) = -[ -S(\frac{1}{2}) ] = S(\frac{1}{2})\)。在 \(x=\frac{1...