评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

计算过程：方向导数 \(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\) 在点 \((1,1,1)\) 处的值，等于函数在该点的梯度 \(\nabla u\) 与单位方向向量 \(\boldsymbol{n}^0\) 的点积。

1. 计算梯度：\(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\)，则 \(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)。
2. 在点 \((1,1,1)\) 处，\(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。
3. 向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)，其模为 \(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)。
4. 单位方向向量 \(\boldsymbol{n}^0 = \frac{\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|} = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3})\)。
5. 方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)} = \nabla u|_{(1,1,1)} \cdot \boldsymbol{n}^0 = (1, 2, 3) \cdot (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生的答案与标准答案“1”完全一致。根据打分要求，正确则给满分。因此，本题得5分。

题目总分：5分