评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路与标准答案一致：通过补面构造闭合曲面，应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分，再减去补面上的积分。具体步骤包括：
1. 正确识别了曲面Σ是由z轴绕直线x=y=z旋转得到的圆锥面。
2. 正确补上了平面Σ₂: x+y+z=1（方向向外），与Σ₁构成闭合曲面。
3. 正确应用了高斯公式，指出被积函数P=x, Q=y+1, R=z+2的散度为3。
4. 正确写出了积分关系：I = ∯_Σ₁+Σ₂ - ∯_Σ₂ = 3∭_ΩdV - ∯_Σ₂。
5. 正确计算了点O(0,0,0)到平面x+y+z=1的距离d=√3/3。

然而，学生在关键的计算步骤上存在严重的逻辑和计算错误：
1. 圆锥底面半径计算错误：学生错误地认为补面Σ₂（平面x+y+z=1）上的圆盘半径为1，中心为(1,1,1)。这是错误的。实际上，该圆是圆锥与平面的交线，其圆心应为直线x=y=z与平面的交点(1/3,1/3,1/3)，半径应为√(2/3)=√6/3。学生的错误导致后续体积计算错误。
2. 圆锥体积计算错误：学生计算I₁ = 3∭_ΩdV = 3 * (1/3) * π * 1² * (√3/3) = √3π/3。这里使用了错误的半径（1）和错误的高（√3/3，这个高值本身正确，但半径错误导致体积错误）。正确的体积应为(1/3)πr²h = (1/3)π*(2/3)*(√3/3)=2π/(9√3)，故3∭_ΩdV = 2√3π/9。
3. 补面积分I₂未完成计算：学生的作答在计算I₂时中断，没有给出最终结果。根据评分规则，未完成的部分不能给分。
4. 曲面方程推导存在瑕疵：学生推导曲面方程为x²+y²+z²=(x+y+z)²，这化简后是xy+yz+zx=0，确实是正确的圆锥面方程。但过程中“将(0,0,2z₀)代入”或“(0,0,z₀)代入”的表述不清晰且有误，不过对后续解题思路影响不大，不扣分。

由于存在核心的计算错误（半径和体积）且解答不完整，不能给予满分。考虑到思路完全正确，且完成了部分正确计算（如应用高斯公式、求点到面距离），应给予部分分数。

扣分：
- 半径及体积计算错误：扣3分。
- 解答不完整（I₂未计算）：扣3分。
得分：12 - 3 - 3 = 6分。

题目总分：6分