评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了特征多项式，并利用“1是重根”的条件得出方程，解得 a=3。思路和结果均正确。但在特征多项式展开的最终表达式上，第一次识别结果为 \((\lambda - 1)(-\lambda^{2}+(a - 1)\lambda + a - 4)=0\)，第二次识别结果为 \((\lambda - 1)(-\lambda^{2}+(a + 1)\lambda+a - 4)=0\)，两者不一致，且与标准答案形式略有不同。不过，学生将 λ=1 代入二次因子并令其为零的步骤正确，得到了正确的 a 值。后续由迹推断三个特征值均为1的结论在 a=3 时正确，但推理不严谨（仅凭迹相等不能直接推出三重根，需结合重根条件）。鉴于核心计算和答案正确，不扣分。
得分：6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生由已知方程推导出 Aβ = β，从而得出 β 是 A 的属于特征值1的特征向量，这一步正确。随后求解 (E-A)x=0 得到两个线性无关的特征向量 ξ₁, ξ₂，也正确。但在求解 (A-E)α = β 以确定 α 时，逻辑出现混乱和错误：
1. 学生设 β = k₁ξ₁ + k₂ξ₂，然后考虑方程组 (A-E)x = β。标准做法应是直接解 (A-E)α = β，其中 β 是特征向量的线性组合。学生列出了增广矩阵，但矩阵书写有误（第三行常数项应为 k₂，但写成了 -2? 识别可能不准），且变换后得出 k₁=0 的结论。
2. 这一结论 k₁=0 意味着 β 只能是 ξ₂ 的倍数，这与标准答案中 β 可以是任意满足 (A-E)α 形式的向量（且该形式自动与 ξ₂ 平行）在结果上看似部分一致，但学生的推导过程不清晰，且最终给出的 α 的表达式混乱（如出现 m₁, m₂, k₁, k₂ 等未明确定义的参数，且向量表示不规范）。
3. 核心问题：学生没有意识到 (A-E)²=0，因此方程 (A-E)α = β 对任意 α 都有解（只需 β 属于 (A-E) 的列空间，即与 (1,1,1)ᵀ 平行），且 α 可以是非零任意向量（只需 β ≠ 0）。学生的求解过程没有体现这一关键，且最终答案形式不完整、不规范。
由于思路前半部分正确，但后半部分求解 α 和 β 的具体表达式时存在逻辑缺陷和表达不清，未能得到完整正确的通解形式，扣去3分。
得分：3分。