评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答与标准答案的最终结果在数学上完全等价：

• 标准答案为 \(\frac{\sqrt{3} \pi}{32} - \frac{\sqrt{3}}{16}\)。
• 学生答案为 \(\frac{\sqrt{3}}{16} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{\sqrt{3} \pi}{32} - \frac{\sqrt{3}}{16}\)。

从两次识别结果看，学生正确完成了以下步骤：

1. 正确确定积分区域 \(D\) 的边界曲线交点，并正确写出累次积分次序（先对 \(y\) 积分，再对 \(x\) 积分），积分限 \(x\) 从 \(0\) 到 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(y\) 从 \(\sqrt{3}x\) 到 \(\sqrt{3(1-x^2)}\)。
2. 正确进行内层积分，得到 \(\int_{\sqrt{3}x}^{\sqrt{3(1-x^2)}} x^2 \, dy = x^2 \left( \sqrt{3(1-x^2)} - \sqrt{3}x \right)\)。
3. 正确拆分为两个积分并分别计算：
   • 对 \(\sqrt{3} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} x^3 \, dx\) 计算正确，结果为 \(\frac{\sqrt{3}}{16}\)。
   • 对 \(\sqrt{3} \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 通过三角代换 \(x = \sin t\) 转化为 \(\sqrt{3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt\)，再利用倍角公式 \(\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t\)，进一步换元 \(u = 2t\)，最终利用公式 \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \, du = \frac{\pi}{4}\) 计算正确。
4. 最终合并结果正确，且与标准答案等价。

整个解题过程思路清晰，计算无误，虽然表达形式与标准答...