评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答的整体思路是正确的：设三段铁丝长度分别为 \(x, y, z\)，满足 \(x+y+z=2\)，然后分别用它们表示圆、正方形、正三角形的边长（或半径），进而表示出总面积 \(S\)，再通过求偏导数（或代入消元后求二元函数极值）寻找最小值点。这与标准答案的拉格朗日乘数法虽然形式不同，但本质都是条件极值问题，且思路正确，因此不扣分。

然而，学生在具体计算过程中出现了关键错误：

1. 在将正三角形的面积公式代入时，学生写为 \(\frac{\sqrt{3}}{4} c^2\) 是正确的（其中 \(c\) 为边长），但后续代入 \(c = z/3\) 后，面积项应为 \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{z^2}{9} = \frac{\sqrt{3}}{36} z^2\)。学生却写成了 \(\frac{z^2}{12\sqrt{3}}\)，这相当于 \(\frac{1}{12\sqrt{3}} z^2\)，而 \(\frac{1}{12\sqrt{3}} \neq \frac{\sqrt{3}}{36}\)，因为 \(\frac{\sqrt{3}}{36} = \frac{1}{12\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{3}?\) 实际上 \(\frac{\sqrt{3}}{36} = \frac{1}{12\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{12\sqrt{3}} \cdot 1?\) 计算验证：\(\frac{1}{12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{36}\) 是成立的（因为 \(\frac{1}{12\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{36}\)）。所以此处学生写 \(\frac{z^2}{12\sqrt{3}}\) 实际上就是 \(\frac{\sqrt{3}}{36} z^2\)，形式不同但数值相等，因此不扣分。
2. 主要错误出现在求偏导数的过程中。学生写 \(S_x' = \frac{x}{2\pi} + \frac{-2}{12\sqrt{3}}(2 - x - y)\)，这里对...