2018年考研数学（三）考试试题 - 第20题回答

好的，我们先一步步分析学生的作答与标准答案的差异，然后按评分要求给分。 --- ## 第一步：分析题目结构 本题共两问： (1) 求 \( f(x_1,x_2,x_3) = 0 \) 的解（应讨论参数 \(a\) 不同取值时的解的情况）。 (2) 求 \( f \) 的规范形（同样要分 \(a=2\) 和 \(a\neq 2\) 两种情况）。 满分 11 分，具体分配未说明，但通常这种题 (1) 占 5 分左右，(2) 占 6 分左右，这里我们按 (1) 5 分、(2) 6 分来分配（因为总分 11 分，常见分配是 5+6）。 --- ## 第二步：看学生作答内容 学生先展开二次型为 \[ f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + (2+a^2)x_3^2 - 2x_1x_2 + (2+2a)x_1x_3 \] 这个展开正确（可以验证）。 然后写出矩阵 \[ A = \begin{bmatrix}2&-1&1+a\\-1&2&0\\1+a&0&2+a^2\end{bmatrix} \] 这里 \(A\) 的 (1,3) 位置是 \(1+a\)，但展开式中 \(x_1x_3\) 系数是 \(2+2a\)，所以矩阵中应该是 \((2+2a)/2 = 1+a\)，正确。 接着学生说 \(f=0\) 的解是 \(Ax=0\) 的解——这里有问题，因为 \(f\) 是平方和形式，\(f=0\) 等价于每个平方项为 0，即 \[ x_1 - x_2 + x_3 = 0,\quad x_2 + x_3 = 0,\quad x_1 + a x_3 = 0 \] 而不是 \(Ax=0\)（\(A\) 是二次型矩阵，\(f=0\) 不一定等价于 \(Ax=0\)，除非 \(f\) 正定或半定时 \(f=0\) 才等价于 \(x=0\)，但这里平方和形式直接看出 \(f=0\) 等价于三个线性方程同时成立）。 学生却去构造矩阵 \(B\)（三个平方项的系数矩阵），令 \(y = Bx\)，然后对 \(B\) 做行变换，得到 \[ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&a-2\end{bmatrix} \] 这里他推理说“因 \(y\) 的特征值为 3 重 \(\...

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