评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确写出了似然函数，取对数后求导并令导数为零，解得最大似然估计量 \(\hat{\sigma} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |X_i|\)，与标准答案一致。计算过程清晰，没有逻辑错误。因此得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生计算 \(E(\hat{\sigma})\) 的过程正确，得到 \(E(\hat{\sigma}) = \sigma\)。但在计算 \(D(\hat{\sigma})\) 时出现了逻辑错误：学生计算了 \(E(\hat{\sigma}^2)\)，但表达式写为 \(E(\hat{\sigma}^2) = \frac{1}{n^2} E(\sum_{i=1}^n x_i^2)\)，这里混淆了 \(|X_i|\) 与 \(X_i^2\)，实际上 \(\hat{\sigma}^2 = \left( \frac{1}{n} \sum |X_i| \right)^2\)，并非 \(\frac{1}{n^2} \sum X_i^2\)。因此后续计算 \(E(\hat{\sigma}^2) = 2\sigma^2\) 是错误的，导致最终方差结果 \(D(\hat{\sigma}) = \sigma^2\) 错误。正确方法应为利用 \(D(|X|) = \sigma^2\) 和独立同分布性质直接得到 \(D(\hat{\sigma}) = \frac{\sigma^2}{n}\)。由于存在核心逻辑错误，扣3分。得3分。

题目总分：5+3=8分