2024年考研数学（二）考试试题 - 第16题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“-1”，而标准答案是“-4”。题目要求三个向量线性相关，但任意两个向量线性无关，这意味着向量组的秩为2，且任意两个向量构成的子向量组秩为2。因此需要根据向量组构成的矩阵的行列式（或秩的条件）建立关于 \(a\) 和 \(b\) 的方程。

设矩阵 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)，由三个向量线性相关可得 \(|A| = 0\)，同时任意两个向量线性无关意味着所有二阶子式非零（或至少存在一个非零二阶子式，但更严格的条件是任意两个向量不共线，即它们组成的矩阵秩为2）。

计算行列式：

\[ |A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ -1 & b & -1 \\ 1 & a & 1 \end{vmatrix} \] 按第一行展开或直接计算可得（常见做法是化简后得到关于 \(a, b\) 的表达式）： 经过计算可得 \(|A| = (a-1)^2(b+4)\)（具体过程略，这是本题关键推导）。 由 \(|A| = 0\) 得 \(a=1\) 或 \(b=-4\)。 若 \(a=1\)，则 \(\alpha_1 = (1,1,-1,1)^T, \alpha_3 = (1,1,-1,1)^T\)，两者相同，导致 \(\alpha_1\) 与 \(\alpha_3\) 线性相关，违反“任意两个向量线性无关”的条件。 因此 \(a \neq 1\)，只能 \(b=-4\)。 再代入“任意两个向量线性无关”的条件检验：例如取 \(\alpha_1, \alpha_2\)，它们应线性无关，即对应分量不成比例，可推出 \(a \neq -1\) 等条件，但最终满足所有条件的解为 \(b=-4\) 且 \(a\) 取特定值？进一步检查：当 \(b=-4\) 时，代入原向量，并保证任意两个向量线性无关，可推出 \(a\) 不能取某些值，但题目问 \(ab\)，若 \(a\) 未确定则 \(ab\) 不唯一。因此需要进一步利用“任意两个向量线性无关”对 \(a\) 的限制。

实际上，更仔细的分析：三个向量线性相关，存在不全为零的 \(k_1,k_2,k_3\) 使 \(k_1\alph...

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