评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果正确计算了所有一阶和二阶偏导数，并代入方程得到 \(25f_{12} = 1\)，从而得出 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\)，过程完整且结果正确。第二次识别结果在代入方程时出现了计算错误（得到 \(-6f_{11}+7f_{12}+24f_{22}=1\)），但随后又指出正确结果应为 \(25f_{12}=1\)，并给出了正确结论。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本题思路和最终答案均正确。因此得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果在积分过程中出现了错误表达式 \(df = \frac{uv}{25} - (u + ve^{-u} + \partial y(v)\) 和最终结果 \(f(u,v) = \frac{1}{50}v^2 + \frac{uv}{25} - uve^{-u}\)，该结果与标准答案不符，存在逻辑错误（积分过程错误导致最终表达式错误）。第二次识别结果正确写出了积分过程：由 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{v}{25} + ue^{-u}\) 积分得 \(f(u,v) = \frac{uv}{25} - (u+1)e^{-u} + \varphi(v)\)，并利用条件 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定 \(\varphi(v) = \frac{1}{50}v^2\)，最终得到正确结果 \(f(u,v) = \frac{1}{50}v^2 + \frac{uv}{25} - (u+1)e^{-u}\)。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本题最终答案正确。因此得6分。

题目总分：6+6=12分