评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}\)。该极限的正确结果为 \(-\frac{1}{4}\)。

我们分析学生的答案：\(\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\ln 1 - \ln 2) = -\frac{1}{2} \ln 2\)，其数值约为 -0.3466。而标准答案 \(-\frac{1}{4} = -0.25\)，两者数值不相等，因此答案错误。

本题的解题思路通常是将求和式视为函数 \(f(x) = x \ln x\) 在区间 [0,1] 上的一个黎曼和。具体地，原极限可写为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n} \ln\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 x \ln x \, dx \] 计算该积分： \[ \int_0^1 x \ln x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \ln x \right|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{2} \, dx = 0 - \left. \frac{x^2}{4} \right|_0^1 = -\frac{1}{4} \] 学生答案 \(\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}\) 并非此积分的结果，表明其核心逻辑（将极限转化为定积分并正确计算）存在错误。

根据评分规则，本题为填空题，答案正确得5分，错误得0分。学生答案与标准答案不符，故得0分。

题目总分：0分