评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1”。

我们需要计算由参数方程组确定的函数 \( y = y(x) \) 在 \( t = 0 \) 处的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。

已知： \[ \begin{cases} x = \ln(1 + 2t) \\ 2t - \int_{1}^{y + t^2} e^{-u^2} du = 0 \end{cases} \]

当 \( t = 0 \) 时： 1. 由第一个方程得 \( x = \ln(1+0) = 0 \)。 2. 由第二个方程得 \( 0 - \int_{1}^{y + 0} e^{-u^2} du = 0 \)，即 \( \int_{1}^{y} e^{-u^2} du = 0 \)。由于被积函数 \( e^{-u^2} > 0 \)，积分值为零意味着上下限相等，所以 \( y = 1 \)。

现在求 \( \frac{dy}{dx} \)。由参数方程求导公式：\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)。

首先，由 \( x = \ln(1+2t) \) 得 \( \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+2t} \)。当 \( t=0 \) 时，\( \frac{dx}{dt} = 2 \)。

其次，对第二个方程 \( 2t - \int_{1}^{y + t^2} e^{-u^2} du = 0 \) 两边对 \( t \) 求导。利用含参变量积分求导及链式法则： \[ 2 - e^{-(y+t^2)^2} \cdot \frac{d}{dt}(y + t^2) = 0 \] 即 \[ 2 - e^{-(y+t^2)^2} \cdot \left( \frac{dy}{dt} + 2t \right) = 0 \] 代入 \( t=0, y=1 \)： \[ 2 - e^{-(1+0)^2} \cdot \left( \frac{dy}{dt} \big|_{t=0} + 0 \right) = 0 \] \[ 2 - e^{-1} \cdot \frac{dy}{dt} \big|_{t=0} = 0 \] 解得 \[ \frac{dy}{dt} \big|_{t=0} = 2e \]

因此， \[ ...