评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \( (1, 0, 0, 4)^T \)。

分析：题目要求线性方程组 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 的通解。已知条件 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，且 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\)。由后者可得 \(a_1 + a_2 - a_3 - a_4 = 0\)，即向量组 \(a_1, a_2, a_3, a_4\) 线性相关，且有一个线性关系：\( (1, 1, -1, -1)^T \) 是齐次方程组 \(Ax=0\) 的一个非零解。由于 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，所以矩阵 \(A\) 的列向量组的秩为 3，因此齐次方程组 \(Ax=0\) 的解空间维数为 \(4-3=1\)，故齐次通解为 \(k(1,1,-1,-1)^T\)。

接下来求非齐次特解。由 \(a_1 + a_2 = a_3 + a_4\) 可得 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\)。于是 \(a_1 + 4a_4 = a_1 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。因此方程 \(Ax = a_1 + 4a_4\) 等价于 \(x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)。将 \(a_4 = a_1 + a_2 - a_3\) 代入并比较系数可得一个特解为 \(x = (1, 0, 0, 4)^T\)（因为此时左边 = \(1\cdot a_1 + 0\cdot a_2 + 0\cdot a_3 + 4(a_1 + a_2 - a_3) = (1+4)a_1 + 4a_2 - 4a_3 = 5a_1 + 4a_2 - 4a_3\)，符合要求）。

因此通解应为齐次通解加特解：\(x = k(1,1,-1,-1)^T + (1,0,0,4)^T\)。

学生只给出了特解 \((1,0,0,4)^T\)，没有包含齐次通解部分。题目要求的是“通解”，所以答案不完整。根据评分规则，本题为填空题，答案错误则给0分。学生答案与标准答案不一致，因此得0分。

题目总分：0分