评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答提供了两次识别结果。第一次识别结果存在多处严重错误：极限表达式中将“xf(x)”误写为“x + f(x)”，将“e^{2sin x}”误写为“e^{sin x}”，在化简过程中出现了“x - x”这种无意义的表达式，最后计算导数时错误地使用了差商公式“f'(0) = (f(2)-f(0))/(2-0)”，这些均属于核心逻辑错误，与题目条件及导数定义完全不符。因此，第一次识别结果不能得分。

第二次识别结果逻辑基本正确。它正确地使用了等价无穷小代换（e^{2sin x}-1 ~ 2sin x, ln(1+x)+ln(1-x) ~ -x^2, sin x ~ x），将所给极限化简为 lim_{x→0} [xf(x)-2x]/(-x^2) = -3。由此进一步推导出 lim_{x→0} [f(x)-2]/(-x) = -3，从而得到 lim_{x→0} f(x)=2。结合题目已知的f(x)在x=0处连续，可推出f(0)=2。最后，由极限式 lim_{x→0} [f(x)-2]/(-x) = -3 可得 lim_{x→0} [f(x)-f(0)]/x = 3，根据导数定义，f'(0)=3。

然而，标准答案给出的结果是f'(0)=5。学生的第二次识别结果（f'(0)=3）与标准答案不符。检查学生的推导过程：其关键一步是将 lim_{x→0} [xf(x)-2x]/(-x^2) = -3 化为 lim_{x→0} [f(x)-2]/(-x) = -3。这一步需要分子分母同除以x，但前提是x≠0，这在极限过程中是允许的。但问题在于，从 lim_{x→0} [xf(x)-2x]/(-x^2) = -3 直接得到 lim_{x→0} [f(x)-2]/(-x) = -3，等价于假设了极限 lim_{x→0} [f(x)-2]/(-x) 存在。虽然最终由此推出的f'(0)是一个具体数值，但整个推导过程省略了对“f(x)在x=0处可导”的证明，而是直接计算了导数值。更重要的是，计算结果是错误的，原因在于对 e^{2sin x} 的展开精度不够。题目极限的分母是 -x^2 量级，因此分子必须展开到 x^2 项。学生使用的等价无穷小 e^{2sin x}-1 ~ 2sin x 只精确到 x 项，忽略了 x^2 项（即2sin^2 ...